1.Introdução
O objetivo deste artigo é apresentar um conteúdo prático introdutório demonstrando a funcionalidade da transformada de Laplace muito utilizada na matemática, mais especificamente na análise funcional para resolução de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes.
2. Quem foi Laplace?
Vamos conhecer um pouco sobre Pierre Simon ou Marquês de Laplace.
Pierre Simon foi um matemático e físico francês que organizou a astronomia matemática, sumarizando e ampliando o trabalho de seu predecessores nos cinco volumes do seu livro Mécanique Céleste (Mecânica celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido como mecânica física.
Também formulou a equação de Laplace. A transformada de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática — campo em que teve um papel principal na formação. O operador diferencial de Laplace, da qual depende muito a matemática aplicada, também recebe seu nome.
Ele se tornou conde do Império em 1806 e foi nomeado marquês em 1817, depois da restauração dos Bourbons.
Laplace
Fonte: http://www.bureau-des-longitudes.fr/membres%20fondateurs/pierre-simon-laplace.htm
3. O que é Transformada de Laplace?
É definida por uma função f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por:
As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares.
A vantagem mais interessante desta transformada é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver.
4.Função Degrau Unitário
Observe a figura abaixo:
A definição é:
É possível representar uma função degrau usando a transformada de Laplace por 1/s. Na tabela abaixo está apresenta do algumas transformadas de Laplace para algumas funções usuais:
5. Função Delta ou Função Impulso
Representação gráfica:
A função delta (ou função impulso) é dada pelo limite de δn (t) quando n tende para infinito:
Entende-se que:
6. Convergência e Divergência
Para saber se uma função diverge ou converge verifique se o resultado da função tende ao infinito.
Se o resultado for infinito as funções divergem e caso contrário elas convergem.
Exemplos:
Para saber se uma função diverge ou converge verifique se o resultado da função tende ao infinito.
Se o resultado for infinito as funções divergem e caso contrário elas convergem.
Exemplos:
Logo podemos ver que esta integral converge para ½.
E você, já utiliza a transformada de laplace?
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